Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点K（0，-1）的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设

FA

•

FB

=

8

9

，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线的一般式方程

专题：平面向量及应用

分析：本题（1）由抛物线方程得到焦点F的坐标，再设直线l的斜率为k，由方程组得到点A、B的坐标关系，通过点A、D对称关系得到直线BD的方程，结合焦点坐标，得到出结论；（2）将向量条件

FA

•

FB

=

8

9

坐标化，得到直线l的斜率，从而求出BD的方程，再利用点在y轴上，到直线l及BD的距离两个条件，得到本题结论．

解答： （Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-x₁，y₁），直线l的方程为y=kx-1，
由

y=kx-1 x2=4y

得x²-4kx+4=0，
从而x₁+x₂=4k，x₁x₂=4． 
直线BD的方程为y-y1=

y2-y1

x2+x1

(x+x1)，
即y-

x12

4

=

x2-x1

4

(x+x1)，
令x=0，得y=

x1x2

4

=1，
所以点F在直线BD上．
（Ⅱ）解：因为

FA

•

FB

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=8-4k²，
 故8-4k2=

8

9

，解得k=±

4

3

，
所以直线l的方程为4x-3y-3=0，4x+3y+3=0．
又由（Ⅰ）得x2-x1=±

16k2-16

=±

4

3

7

，
故直线BD的斜率为

x2-x1

4

=±

7

3

，
因而直线BD的方程为

7

x-3y+3=0，

7

x+3y-3=0．
设∠DBK的平分线与y轴的交点为M（0，t），
则点M到直线l及BD的距离分别为

3|t+1|

5

，

3|t-1|

4

，
由为

3|t+1|

5

=

3|t-1|

4

，得t=

1

9

，或t=9（舍去），
所以∠DBK的平分线与y轴的交点为M(0，

1

9

)．

点评：本题重点考查了函数方程思想，充分利用相应的方程解题，另外，结合角平分线上点的到角两边距离相等这一几何特征，得到本题结论．本题有一定的思维难度，计算量较大，属于中档题．