Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）对任意的x₁∈（0，

1

2

），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）令x=1，y=0，即可得到f（0）；
（Ⅱ）由条件，令y=0，结合f（0），即可得到f（x）的表达式；
（Ⅲ）求出f（x₁）+2在x₁∈（0，

1

2

）上递增，得到f（x₁）+2∈（0，

3

4

），再对a讨论，应用恒成立思想：最大值不小于最小值，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
令x=1，y=0，得f（1）-f（0）=2，
又f（1）=0，则f（0）=-2；
（Ⅱ）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
令y=0，得f（x）-f（0）=x（x+1）．
由f（0）=-2，则f（x）=x²+x-2；
（Ⅲ）∵x₁∈（0，

1

2

），
∴f（x₁）+2=x₁²+x₁=（x₁+

1

2

）²-

1

4

在x₁∈（0，

1

2

）上递增，
∴f（x₁）+2∈（0，

3

4

），
要使任意的x₁∈（0，

1

2

），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
当a＞1时，log_ax₂＜log_a

1

2

，显然不成立；
当0＜a＜1时，log_ax₂＞log_a

1

2

，则

0＜a＜1 loga 1 2 ≥ 3 4

，解得

3 4

4

≤a＜1．
综上，a的取值范围是[

3 4

4

，1）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数最值问题，属于中档题．