Question

已知函数f（x）=x²+（m-1）x+1．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（x₁，x₂），且0＜|x₁-x₂|＜2

3

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）依题意，由△=（m-1）²-4＞0即可求得实数m的取值范围；
（Ⅱ）依题意知m＜-1或m＞3，又|x₁-x₂|＜2

3

，利用韦达定理可求得-3＜m＜5，二者联立即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+（m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（m-1）²-4＞0，解得：m＜-1或m＞3；
（Ⅱ）依题意知，x₁、x₂是方程x²+（m-1）x+1=0的两异根，
由（Ⅰ）知m＜-1或m＞3；①
又|x₁-x₂|＜2

3

?(x1+x2)2-4x₁x₂=（m-1）²-4＜12，
解得：-3＜m＜5，②
由①②得：-3＜m＜-1或3＜m＜＜5，
∴实数m的取值范围是（-3，-1）∪（3，5）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查二次函数的性质及韦达定理的应用，属于中档题．