Question

16．山脚平地上有一条笔直的公路，在公路上A，B，C三点依次测得山顶P的仰角为30°，45°，60°，已知AB=BC=1km，求山高PH．

Answer 1

分析 如图所示，设PH=x，由在公路上A，B，C三点依次测得山顶P的仰角为30°，45°，60°，可得AH=2x，BH=x，CH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．设∠CBH=α，∠ABH=π-α．在△BCH与△ABH中，分别利用余弦定理即可得出．

解答 解：如图所示，
设PH=x，
∵在公路上A，B，C三点依次测得山顶P的仰角为30°，45°，60°，
∴AH=2x，BH=x，CH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
设∠CBH=α，∠ABH=π-α．
在△BCH与△ABH中，
分别利用余弦定理可得：$（\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}$=1²+x²-2×1×x×cosα，
$（\sqrt{3}x）^{2}$=1²+x²-2×1×xcos（π-α），
相加可得：$\frac{10}{3}{x}^{2}$=2+2x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴山高PH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．