Question

11．f（x）=log₂（4x）•log₂（2x），0.25≤x≤4，求f（x）的最值，并写出最值时对应x的值．

Answer 1

分析 利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求函数的最值．

解答 解：设t=log₂x，
∵0.25≤x≤4，∴-2≤t≤2，
则函数f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）等价为g（t）=（t+2）（1+t）=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
∴g（t）在[-2，-$\frac{3}{2}$）单调递减，在[-$\frac{3}{2}$，2]上单调递增，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，g（t）取得最小值，最小值为-$\frac{1}{4}$，即log₂x=-$\frac{3}{2}$时，即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$
当t=2时，g（t）取得最大值，最大值为g（2）=12，即log₂x=2时，即x=4时，f（x）的最大值为12．

点评 本题主要考查函数的最值的求法，利用换元法将函数转化为二次函数的解决本题的关键，考查学生的计算能力．