Question

6．已知f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（A）是f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调增区间；
（Ⅱ）由题意可得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得sinC=1，角C=90°，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab，代值计算可得．

解答 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$．
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$
∴f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵A为锐角且f（A）是f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，又a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴sinC=$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{4}{2\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，角C=90°，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×$$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查解三角形，涉及两角和与差的三角函数公式和正弦定理以及三角形的面积，属中档题．