Question

4．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，然后利用累加法求n≥2时的通项公式，验证首项后得答案．

解答 解：由a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，得${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${a}_{2}-{a}_{1}=1-\frac{1}{2}$，
${a}_{3}-{a}_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
${a}_{4}-{a}_{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2），
累加得：${a}_{n}={a}_{1}+1-\frac{1}{n}$，
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=2+\frac{n-1}{n}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2+\frac{n-1}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．