Question

已知函数f（x）=

2

3

x3+x2+ax+1在（-1，0）上有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：f（x₂）＞

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12

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有两不等实根，可得

g(-1)=a＞0 g(0)=a＞0 g(- 1 2 )= 1 2 +(-1)+a＜0

，即可求实数a的取值范围；
（2）确定ax₂＞

1

2

x₂，可得f（x₂）=

2

3

x₂³+x₂²+ax₂+1＞

2

3

x₂³+x₂²+

1

2

x₂+1，设h（x）=

2

3

x³+x²+

1

2

x+1，x∈（-

1

2

，0），h（x）在（-

1

2

，0）递增，即可证明结论．

解答： （1）解：∵f（x）=

2

3

x3+x2+ax+1，
∴f′（x）=2x²+2x+a，
由题意知方程2x²+2x+a=0在（-1，0）上有两不等实根，
设g（x）=2x²+2x+a，其图象的对称轴为直线x=-

1

2

，
故有

g(-1)=a＞0 g(0)=a＞0 g(- 1 2 )= 1 2 +(-1)+a＜0

，解得0＜a＜

1

2

…（6分）
（2）证明：由题意知x₂是方程2x²+2x+a=0的大根，从而x₂∈（-

1

2

，0），
由于0＜a＜

1

2

，∴ax₂＞

1

2

x₂，
∴f（x₂）=

2

3

x₂³+x₂²+ax₂+1＞

2

3

x₂³+x₂²+

1

2

x₂+1，
设h（x）=

2

3

x³+x²+

1

2

x+1，x∈（-

1

2

，0），
h′（x）=2（x+

1

2

）²+

1

2

＞0
∴h（x）在（-

1

2

，0）递增，
∴h（x）＞h（-

1

2

）=

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12

，即f（x₂）＞

11

12

成立…（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．