Question

14．若点P在y=x²上，点Q在x²+（y-3）²=1上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{11}}{2}$-1
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$-1

Answer 1

分析 求得圆心圆心A（0，3），半径为1，设P（x，x²），丨PQ丨=丨AP丨-丨AQ丨=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-3）^{2}}-1$=$\sqrt{（{x}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，由二次的性质即可求得|PQ|的最小值．

解答 解：圆x²+（y-3）²=1的圆心A（0，3），半径为1，
∵点P在抛物线y=x²上，设P（x，x²），
∴丨PQ丨=丨AP丨-丨AQ丨=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-3）^{2}}-1$=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}+9}$-1=$\sqrt{（{x}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，
由二次函数的性质可知：当x²=$\frac{5}{2}$时，丨PQ丨取最小值，最小值为：$\frac{\sqrt{11}}{2}$-1，
故选B．

点评 本题考查圆的方程与抛物线的应用，考查二次函数的性质的应用，属于中档题．