Question

【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病．而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．

某药物研究所为筛查该种病毒，需要检验血液是否为阳性，现有（，且）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验则需要检验次；

方式二：混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．

（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，从中任取3份样本进行医学研究，求至少有1份为阳性样本的概率；

（2）假设将（且）份血液样本进行检验，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为；

①运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；

②若与干扰素计量相关，其中数列满足，当时，试讨论采用何种检验方式更好？

参考数据：．

Answer 1

【答案】（1）（2）①（且）．②当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．

【解析】

（1）利用古典概型的概率求至少有1份为阳性样本的概率；

（2）①由题得，根据得到；②先求出，当时，得到不等式的解，即得当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．

（1）由古典概型的概率公式得.

（2）①由已知，得；的所有可能取值为1，，．

．

若，则，．

类于的函数关系式为（且）．

②由已知得，数列是等比数列，且

，当时，有，

得．

设，

∴当时，，即在上单调减．

又；

当时，且时．

当时采用混合检验方式，且时采用逐份检验方式．