题目内容
【题目】如图，过椭圆C：
上一点P作x轴的垂线，垂足为
，已知，
分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且
，
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线PM，PN，MN的斜率分别为
，问：
是否为定值？请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值
．
【解析】
（1）由题意不妨设
，
，则可得
，又由
得
，得
，由
可求解出
，即得椭圆方程；
（2）由题意知直线
的方程为
，设
，
联立方程得
，消去
并整理，得
，利用根与系数的关系表示出
，化简计算即得.
（1）由题意可设，，代入椭圆
的方程得，
，得
，∴，
由
得，∴
，，
∴
，
又
，∴
，
∴椭圆的方程为；
（2）由题意知直线的方程为，设
，
联立方程得，消去并整理，得，
∴
，
，
∴
，
∴为定值．
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