Question

【题目】某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有“A”“B”“C”“D”.顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“D”字球，则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有““A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖.

（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析，

【解析】

（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为，由事件的相互独立性性质求，先由排列方式计算事件B的基本事件个数，再由古典概型求概率方式求，最后三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B，C”；“A，B，C，C”三种情况，由相互独立性求概率即可；

（2）由相互独立性计算的取值为1、2、3、4时的概率，并列出对应的分布列，进而由均值计算公式求得均值.

（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为，

则依次取到标有““A”“B”“C”“D”字的球的概率， 不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球时，前3次全排列“A”“B”“C”最后一次为“D”，再减去“一等奖”的1次，即基本事件有个，则概率

三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B，C”；“A，B，C，C”三种情况.

则

（2）设摸球的次数为，则的可能取值为1、2、3、4.

，，，

故取球次数的分布列为

	1	2	3	4

所以数学期望为