Question

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=2，cosB=$\frac{1}{4}$，sinC=2sinA，则α=1，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得c=2a，由此利用余弦定理得a=1，c=2，再求出sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，从而能求出△ABC的面积．

解答 解：∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
b=2，cosB=$\frac{1}{4}$，sinC=2sinA，
∴由正弦定理得c=2a，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}$=$\frac{5{a}^{2}-4}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=1，（舍负），
∴c=2a=2，sinB=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：1，$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查角的大小、三角形的面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．