Question

已知函数f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，作出图象从而求出a的取值范围．

解答： 解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，a表示直线y=ax的斜率，
作函数f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

的图象如右图，
当x＞1时，f′（x）=

1

x

，
设切点为（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切线方程为y-y₀=

1

x0

（x-x₀），而切线过原点，
∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直线l₁的斜率为

1

e

，
又∵直线l₂与y=

1

6

x+1平行，
∴直线l₂的斜率为

1

6

，
∴实数a的取值范围是[

1

6

，

1

e

），
故答案为：[

1

6

，

1

e

）．

点评：本题考查了分段函数的图象的作法，同时考查了数形结合的数学思想的应用，属于难题．