Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁≠0，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列$\{lg\frac{1}{a_n}\}$的前n项和最大？

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）利用对数的运算性质、等差数列的通项公式与单调性即可得出．

解答 解：（1）令n=1，得$λa_1^2=2{S_1}=2{a_1}，{a_1}（λ{a_1}-2）=0$，因为a₁≠0，所以${a_1}=\frac{2}{λ}$，当n≥2时，$2{a_n}=\frac{2}{λ}+{S_n}$，$2{a_{n-1}}=\frac{2}{λ}+{S_{n-1}}$，两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n（n≥2），
所以a_n=2a_n-1（n≥2），从而数列{a_n}为等比数列，
所以${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}=\frac{2^n}{λ}$．
（2）当a₁＞0，λ=100时，由（1）知，a_n=$\frac{{2}^{n}}{100}$，
b_n=lg$\frac{1}{{a}_{n}}$=$lg\frac{100}{{2}^{n}}$=2-nlg2．
所以数列{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2，所以${b_1}＞{b_2}＞…＞{b_6}=lg\frac{100}{2^6}=lg\frac{100}{64}＞lg1=0$，
当n≥7时，${b_n}≤{b_7}=lg\frac{100}{2^7}＜lg1=0$，所以数列$\{lg\frac{1}{a_n}\}$的前6项和最大．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．