Question

20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：

空气质量指数（μg/m3）	0-50	51-100	101-150	151-200	201-250
空气质量等级	空气优	空气良	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	20	40	m	10	5

（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方图：

（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．

Answer 1

分析 解：（1）由$0.004×50=\frac{20}{n}$，求出n=100，从而求出m=25，由此能完成频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数与中位数．
（3）在空气质量指数为51-100和151-200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为151-200的1天记为e，利用列举法求出从中任取2天的基本事件和事件A“两天空气都为良”包含的基本事件，由此能求出事件A“两天都为良”发生的概率．

解答 解：（1）∵$0.004×50=\frac{20}{n}$，∴n=100，
∵20+40+m+10+5=100，∴m=25，
$\frac{40}{100×50}=0.008；\frac{25}{100×50}=0.005；\frac{10}{100×50}=0.002；\frac{5}{100×50}=0.001$．
由此完成频率分布直方图，如下图：

（2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：
$\overline{x}$=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，
∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4，
∴中位数为：50+$\frac{0.5-0.2}{0.4}×50$=87.5．
（3）在空气质量指数为51-100和151-200的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽収的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为a，b，c，d；
将空气质量指数为151-200的1天记为e，
从中任取2天的基本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），
（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，
其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，
所以事件A“两天都为良”发生的概率是$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．