Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，且2S_n=a_n²+a_n．
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=a_n•2 an，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，求出首项，再由当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1，即可得到a_n=a_n-1+1，由等差数列的通项公式，即可得到通项；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，化简整理，即可得到．

解答： 解：（1）由2S₁=a₁²+a₁，得a₁=1，
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
又a_n＞0，则a_n=a_n-1+1，
则{a_n}以1为首项，以1为公差的等差数列，
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）b_n=a_n•2 an=n•2ⁿ，
则T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
则T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式及等比数列的求和公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．