Question

已知点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=-

1

x+2

，图象上，且a₁=f（0），
（Ⅰ）b_n=

1

an+1

，求证：{b_n}为等差数列，并求出{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n＞Kn对n∈N^*恒成立，求实数K的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用等差数列的定义，以及通项公式，即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得数列{a_n}的通项，则a_n＞Kn对n∈N^*恒成立，得K＜（

-1

n+1

）_min，运用单调性求出最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为（a_n，a_n+1）在函数f（x）=-

1

x+2

图象上，则a_n+1=-

1

an+2

又b_n=

1

an+1

，b_n+1-b_n=

1

an+1+1

-

1

an+1

=

1

1- 1 an+2

-

1

an+1

=

an+2

an+1

-

1

an+1

=1
又a₁=f（0）=-

1

2

，b₁=

1

1+a1

=2，
则有{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；
即有b_n=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n+1=

1

an+1

，则a_n=

-n

n+1

又a_n＞Kn对n∈N^*恒成立，得K＜（

-1

n+1

）_min，
而

-1

n+1

在n∈N^*为递增数列，当n=1时取得最小值-

1

2

则K＜-

1

2

．

点评：本题考查等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．