Question

已知函数f（x）=2ax-

3

2

x²-3lnx，其中a∈R，为常数
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意知f'（x）≤0对x∈[1，+∞）恒成立，即

-3x2+2ax-3

x

≤0，由此利用均值定理能求出实数a的取值范围．
（2）依题意f'（3）=0，从而解得a=5，由此利用导数性质能求出f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2ax-

3

2

x²-3lnx，
∴x＞0，f′(x)=2a-3x-

3

x

=

-3x2+2ax-3

x

，
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是减函数，
∴f'（x）≤0对x∈[1，+∞）恒成立，即

-3x2+2ax-3

x

≤0，
又x＞0，∴-3x²+2ax-3≤0恒成立，
即3(x+

1

x

)≥2a恒成立，6≥2a，
∴a≤3，即实数a的取值范围是（-∞，3]．
（2）∵x=3是f（x）的极值点，
∴f'（3）=0，即

-3•32+2a•3-3

3

=0，解得a=5，
此时f′(x)=

-3x2+10x-3

x

=-

(x-3)(3x-1)

x

，
当x∈[1，3]时，f'（x）≥0，原函数递增，
当x∈[3，5]时，f'（x）≤0，原函数递减；
∴f（x）最大值为f(3)=

33

2

-3ln3．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．