Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）根据正弦函数的图象及性质求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（1）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$
则x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，
∴对称轴方程为x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
则x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，
所以对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$），k∈Z．
（3）令sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，即2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，
得：x=$-\frac{π}{3}$+kπ时，f（x）的取得最小值$\frac{3}{4}$．
此时x的取值集合是{x|x=$-\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．

点评 本题主要考查对三角函数的化简计算能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．