Question

3．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围为（　　）

• A． [2，18）
• B． （$\frac{3（\sqrt{5}-1）}{2}$，2]
• C． [2，$\frac{27-9\sqrt{5}}{2}$）
• D． （2，9-3$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 由已知a+b+c=6，且b²=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-（b+3）²+27．则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围可求．

解答 解：由题意可得a+b+c=6，且b²=ac，
∴b=$\sqrt{ac}$≤$\frac{a+c}{2}$=$\frac{6-b}{2}$，从而0＜b≤2．
再由|a-c|＜b，得（a-c）²＜b²，（a+c）²-4ac＜b²，
∴（6-b）²-4b²＜b²，得b²+3b-9＞0，
又b＞0，解得b＞$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$＜b≤2，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=ac•cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2}$=$\frac{（6-b）^{2}-3{b}^{2}}{2}$=-（b+3）²+27．
则2≤$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜$\frac{27-9\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属难题．