Question

6．等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₂=2，S₅=15，数列{b_n}，b₁=1，对任意n∈N₊满足b_n+1=2b_n+1．
（Ⅰ）数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与求和公式可得a_n．b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2（b_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=2，S₅=15，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1，
∴a_n=n．
∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），${b_n}+1=2•{2^{n-1}}$，∴${b_n}={2^n}-1$．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得，${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．