Question

17．已知α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，则sinα=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的平方关系得到cos（α-$\frac{π}{6}$）的值，然后将α转化为α=（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$的形式，进而根据两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
cos（α+$\frac{π}{3}$）=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=-sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$；-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．