Question

9．设f（x）=alnx+bx²+x在x₁=1和x₂=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x₁与x₂处是取得极大值还是极小值．

Answer 1

分析 根据极值的概念，求出a，b值，利用导函数判断函数的单调区间，根据单调区间判断函数的极值．

解答 解：f（x）=alnx+bx²+x，
f'（x）=$\frac{a}{x}$+2bx+1，
∵f'（1）=0，f'（2）=0，
∴a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{1}{6}$；
f'（x）=-$\frac{{x}^{2}-3x+2}{3x}$，
当x在（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x在（1，2）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
当x在（2，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在x₁与处取得极小值，在x₂处取得极大值．

点评 考查了函数极值的概念和导函数的应用．