Question

20．若[x]表示不超过实数x的最大整数，函数f（x）=x-[x]，x∈R，则下列四个关于函数f（x）的命题：
①f（x）的值域为[0，1）；
②f（x）为R上的增函数；
③f（x）为奇函数；
④f（x）为周期函数．
其中真命题的序号为（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 根据[x]的定义，结合函数单调性，奇偶性，周期性以及函数值域的性质分别进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=x-[x]，
∴f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x），
∴f（x）=x-[x]在R上为周期是1的函数．故④正确，
当0≤x＜1时，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①正确，
∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴②错误
∵f（-0.1）=-0.1-[-0.1]=-0.1-1=-1.1，而f（0.1）=0.1-[0.1]=0.1-0=0.1，
所以f（-0.1）≠-f（0.1），所以函数不是奇函数，∴③错误．
故选A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的基本性质--定义域、值域、单调性、周期性．考查对基础知识的掌握程度和灵活运用．