Question

17．已知圆C：（x-3）²+y²=4，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

Answer 1

分析 根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k_CMk_AB=-1，斜率不存在时加以验证．

解答 解：设圆x²+y²-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①设M（x，y），当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k_CMk_AB=-1，
∴$\frac{y}{x-3}$×$\frac{y}{x}$=-1（x≠3，x≠0），
化简得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，
③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-3x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{5}{3}$，y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴点M的轨迹方程是：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．
故答案为：x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．

点评 本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．