Question

已知等差数列{a_n}前n项和为S_n且a₂+a₃=10，S₆=42
（1）求{a_n}通项公式．
（2）设数列{b_n}前n项和为T_n，且

1

bn

=a₁+a₂+…a_n，若T_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₃=10，S₆=42可求得

a1=2 d=2

，从而可得{a_n}通项公式．
（2）易求

1

bn

=a₁+a₂+…a_n=

(2+2n)n

2

=n（n+1），取倒数后，利用裂项法可得b_n=

1

n(n+1)

=（

1

n

-

1

n+1

），于是可求得T_n=b₁+b₂+…b_n=1-

1

n+1

，继而可得答案．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

2a1+3d=10 6a1+ 6×5 2 d=42

，解得

a1=2 d=2

，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）由（1）知a_n=2n，
所以，

1

bn

=a₁+a₂+…a_n=

(2+2n)n

2

=n（n+1），
所以，b_n=

1

n(n+1)

=（

1

n

-

1

n+1

），
所以，T_n=b₁+b₂+…b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

，
因为T_n＜m恒成立，所以m＞（T_n）_max，
又T_n=1-

1

n+1

为减函数，

lim

n→∞

T_n=1，
所以，m≥1，即m的最小值为1．

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出考查方程思想等价转化思想及极限思想的应用，考查函数单调性及恒成立问题，属于难题．