已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.其左.右焦点分别为F1.F2.以原点O为圆心.椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．(1)求椭圆C的方程．(2)过点F2作不与x轴重合的直线交椭圆于M.N两个不同的点.求△0MN面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其左、右焦点分别为F₁、F₂，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过点F₂作不与x轴重合的直线交椭圆于M，N两个不同的点，求△0MN面积S的最大值．

分析（1）圆心到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，从而确定b=1，从而求方程；
（2）设直线MN的方程为x-1=ay，从而联立方程化简得（a²+2）y²+2ay-1=0，从而可得y₁+y₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{a}^{2}+2}$，从而化简得|y₁-y₂|_max=$\sqrt{2}$，从而求面积的最大值．

解答解：（1）圆心到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，
故b=1，
又∵e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设直线MN的方程为x-1=ay，
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+ay}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
（a²+2）y²+2ay-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
故y₁+y₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{a}^{2}+2}$，
故（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=$\frac{4{a}^{2}}{（{a}^{2}+2）^{2}}$+4$\frac{1}{{a}^{2}+2}$
=$\frac{8{a}^{2}+8}{（{a}^{2}+2）^{2}}$=8（-$\frac{1}{（{a}^{2}+2）^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+2}$）
=-8（$\frac{1}{{a}^{2}+2}$-$\frac{1}{2}$）²+2，
故|y₁-y₂|_max=$\sqrt{2}$，
而S=$\frac{1}{2}$|OF₂|（|y₁|+|y₂|）
=$\frac{1}{2}$|OF₂||y₁-y₂|
≤$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故△0MN面积S的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．