Question

4．当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜3．

Answer 1

分析 由二项式定理知：（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×$\frac{1}{n}$+C_n²（$\frac{1}{n}$）²+…+C_nⁿ（$\frac{1}{n}$）ⁿ=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$
由此知2＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜3．

解答 证明：（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×$\frac{1}{n}$+C_n²（$\frac{1}{n}$）²+…+C_nⁿ（$\frac{1}{n}$）ⁿ
=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$
=2+$\frac{1}{2!}$×$\frac{n（n-1）}{{n}^{2}}$+…+$\frac{1}{n!}$×$\frac{n（n-1）…•2•1}{{n}^{n}}$
＜2+$\frac{1}{2!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=2+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=3-（$\frac{1}{2}$）^n-1＜3．
显然（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$＞2．
所以2＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜3．

点评 本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．