Question

8．已知椭圆的长轴为4，且以双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点为椭圆的焦点，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标是（1，1）．求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得a=2，求得双曲线的顶点，可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB：y-1=k（x-1），即为y=kx+1-k，代入椭圆方程x²+2y²=4，运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
即有a=2，双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
椭圆的焦点为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
可得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设直线AB：y-1=k（x-1），即为y=kx+1-k，
代入椭圆方程x²+2y²=4，
可得（1+2k²）x²+4k（1-k）x+2（1-k）²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{4k（1-k）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（1-k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得x₁+x₂=-$\frac{4k（1-k）}{1+2{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{1}{2}$．x₁x₂=$\frac{1}{3}$，
则弦长AB为$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．