Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，∠ADC=120°，底面ABCD为菱形，G为PC中点，E，F分别为AB，PB上一点，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF．
（1）求证：AC⊥DF；
（2）求证：EF∥平面BDG；
（3）求三棱锥B-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点H，以D为原点，DH为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥DF．
（2）连结AC，BD，交于点O，由已知条件推导出EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．
（3）利用向量法求出F到平面BEC的距离d=3t=3，三棱锥B-CEF的体积V_B-CEF=V_F-BEC．，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取AB中点H，以D为原点，DH为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设P（0，0，4t），t＞0，
由已知得A（2$\sqrt{6}$，-2$\sqrt{2}$，0），C（0，4$\sqrt{2}$，0），D（0，0，0），
B（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，0），F（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3t），
$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{6}$，6$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3t），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DF}$=-6+6+0=0，
∴AC⊥DF．
（2）连结AC，BD，交于点O，
∵底面ABCD为菱形，∴O是AC中点，
∵G是PC中点，∴OG∥AP，
∵E，F分别为AB，PB上一点，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF，
∴EF∥AP，∴EF∥OG，
∵EF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴EF∥平面BDG．
解：（3）$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-4t），$\overrightarrow{PC}$=（0，4$\sqrt{2}$，-4t），
∵PA⊥PC，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=0+16-16t²=0，解得t=1，
∴F到平面BEC的距离d=3t=3，
∵∠ADC=120°，底面ABCD为菱形，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，
∴BE=3$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×4\sqrt{2}×sin120°$=6$\sqrt{3}$，
∴三棱锥B-CEF的体积V_B-CEF=V_F-BEC=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEC}×d$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．