Question

2．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=$\frac{8}{17}$，α，β均为锐角，
（1）求sin2α的值；
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）求出正弦函数值，利用二倍角公式求解即可．
（2）求出α+β的正弦函数值，利用角的变换，通过两角和与差的余弦函数求解即可．

解答 （本题满分14分）
解：（1）∵$cosα=\frac{3}{5}$，且α为锐角，
∴$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{4}{5}$，…（3分）
即$sin2α=2sinαcosα=\frac{24}{25}$，…（7分）
（2）∵$cos（α+β）=\frac{8}{17}$，且α，β均为锐角，
∴0＜α+β＜π，
即$sin（α+β）=\sqrt{1-{{cos}^2}（α+β）}=\frac{15}{17}$，…（10分）
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{8}{17}×\frac{3}{5}+\frac{15}{17}×\frac{4}{5}=\frac{84}{85}$…（14分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角个数以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．