Question

7．求证ln2＜$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＜ln3．

Answer 1

分析 令f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$，则f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$，由于f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$＞0，可得数列f（n）单调递增．即可证明左边．令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1）．利用导数研究其单调性即可证明：lnx＞1-$\frac{1}{x}$．令x=$\frac{k+1}{k}$，则ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$．利用“累加求和”即可证明．

解答 证明：令f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$，
则f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{2}{3n+3}$＞0，
∴数列f（n）单调递增．
∴$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤f（n），
∵2⁶＜e⁵，
∴ln2$＜\frac{5}{6}$，因此左边成立：ln2＜f（n）．
令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1）．
f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
因此函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，
∴lnx＞1-$\frac{1}{x}$．
令x=$\frac{k+1}{k}$，则ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$．
∴f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$＜[ln（n+1）-lnn]+[ln（n+2）-ln（n+1）]+…+[ln（3n）-ln（3n-1）]=ln（3n）-lnn=ln3．
因此右边成立．
综上可得：ln2＜f（n）＜ln3．

点评 本题考查了数列的单调性、构造函数利用导数研究函数的单调性证明不等式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．