Question

阅读材料：某同学求解sin18°的值其过程为：
设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°-2α，
于是cos3α=cos（90°-2α），
即cos3α=sin2α，展开得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，
∴4cos³α-3=2sinα，化简，得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=

-1± 5

4

，∵sinα=sin18°∈（0，1），
∴sinα=

-1+ 5

4

（sinα=

-1- 5

4

＜0舍去），即sin18°=

-1+ 5

4

．
试完成以下填空：设函数f（x）=ax³-3x+1对任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：根据类比推理，结合4cos³α-3cosα+1≥0，cosα∈[-1，1]恒成立，即可得出结论．

解答： 解：∵4cos³α-3cosα=2sinαcosα，
∴4cos³α-3cosα+1=2sinαcosα+1=（sinα+cosα）²≥0，
∴4cos³α-3cosα+1≥0，cosα∈[-1，1]恒成立，
∵函数f（x）=ax³-3x+1对任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，∴实数a的值为4．
故答案为：4．

点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．