Question

甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，
（1）两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜，若x+y+z=6（x，y，z∈N）用x、y、z表示甲胜的概率；
（2）在（1）下又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）甲胜分为三个基本事件：①A₁：“A、B均取红球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黄球”．由此能求出用x、y、z表示甲胜的概率．
（2）设甲的得分为随机变量ξ，则P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

；P（ξ=2）=

y

6

×

1

3

=

y

18

；P（ξ=1）=

x

6

×

1

2

=

x

12

；P（ξ=0）=1-

3x+2y+z

36

，由此能求出甲得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．

解答： 解：（1）显然甲胜与乙胜为对立事件，
甲胜分为三个基本事件：
①A₁：“A、B均取红球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黄球”．
∵P（A₁）=

x

6

×

1

2

，P（A₂）=

y

6

×

1

3

，P（A₃）=

z

6

×

1

6

，
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3x+2y+z

36

；
（2）设甲的得分为随机变量ξ，
则P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

=

z

36

；
P（ξ=2）=

y

6

×

1

3

=

y

18

；
P（ξ=1）=

x

6

×

1

2

=

x

12

；
P（ξ=0）=1-

3x+2y+z

36

，
∴Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

1

2

+

y

36

，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为

2

3

，
此时x=z=0．

点评：本题考查概率在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意概率性质和古典概型的特征的灵活运用．