Question

设函数f（x ）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若sin（π+α）=

4

5

，|α|＜

π

2

，求f（x）-

3

2

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）先求sinα=-

4

5

，又|α|＜

π

2

，即可求得cosα=

3

5

，sin2α=-

24

25

，cos2α=-

7

25

，化简f（α）-

3

2

后代入即可求值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

×sinxcosx+

3

×

cos2x+1

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π

（2）∵sin（π+α）=

4

5

，
∴sinα=-

4

5

，
又|α|＜

π

2

，
∴cosα=

3

5

，sin2α=-

24

25

，cos2α=-

7

25

∴f（α）-

3

2

=sin（2α+

π

3

）=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=

-24-7 3

50

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．