Question

19．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N⁺，且a₁，a₂，a₅成公比q≠1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）数列{b_n}的前n项和为S_n且满足：a_n•a_n+1•b_n=1，求证：$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：∵a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N⁺，
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
∵a₁，a₂，a₅成公比q≠1的等比数列，∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅．
∴（1+c）²=1×（1+4c），解得c=0，或2．
c=0时，q=1，舍去．
∴c=2．
（2）证明：∵a_n+1=a_n+2，可得：a_n+1-a_n=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵a_n•a_n+1•b_n=1，∴b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{1}{2}$．
又数列$\{-\frac{1}{2n+1}\}$单调递增，∴S_n≥S₁=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．