Question

17．已知等差数列{a_n}的公差大于零，且a₂、a₄是方程x²-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{{b}_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，求数列的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差d＞0，依题意知a₂+a₄=18，a₂•a₄=65，可求得a₂=5，与d=4，从而可得数列{a_n}的通项公式；同理，可求得等比数列{b_n}的通项公式；
（2）由于数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{{b}_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，分n≤6与n＞6讨论，分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{c_n}的前项和T_n．

解答 解：（1）依题意等差数列{a_n}的公差d＞0，
且a₂+a₄=18，a₂•a₄=65，解得：a₄=13，a₂=5，
由a₄=a₂+2d得：d=4，
∴a_n=a₂+（n-2）×4=4n-3．
∴a₃=9，
依题意，公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}中，b₃=a₃=9，S₃=b₁+b₂+9=13，
即$\left\{\begin{array}{l}{{{b}_{1}q}^{2}=9}\\{{b}_{1}{+b}_{1}q=4}\end{array}\right.$，
解得：b₁=1，q=3，故b_n=3^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{{b}_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，数列{c_n}的前项和为T_n，
∴当n≤6时，T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{[1+（4n-3）]n}{2}$=2n²-n；
当n＞6时，T_n=（a₁+a₂+…+a₆）+（S_n-S₆）
=（2×6²-6）+（$\frac{1{-3}^{n}}{1-3}$-$\frac{1{-3}^{6}}{1-3}$）=66+（$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{{3}^{6}}{2}$）=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{597}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2n}^{2}-n，1≤n≤6}\\{\frac{{3}^{n}-597}{2}，n＞6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．