题目内容
6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F（c，0）到直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为1（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上，求△OAB面积的最大值．
分析 （Ⅰ）由题意列关于a，c的方程，求解得到a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）当直线AB为x轴时，经过原点，与题意矛盾，设直线AB为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由线段AB中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上求得k，然后由弦长公式求得AB的长度，再由点到直线的距离公式求得O到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△OAB面积的最大值．
解答 解：（Ⅰ）由题意可得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}-c=1$，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），当直线AB为x轴时，经过原点，与题意矛盾，
设直线AB为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{0}=\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=\frac{-2{k}^{2}m}{1+2{k}^{2}}+m=\frac{m}{1+2{k}^{2}}$．
把（x0，y0）代入y=$\frac{1}{2}$x中得$\frac{-km}{1+2{k}^{2}}=\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，得k=-1．
此时3x2-4mx+2m2-2=0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
|AB|=$\sqrt{（\frac{4m}{3}）^{2}-4×（\frac{2{m}^{2}-2}{3}）}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{3-{m}^{2}}$，
O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$．
∴S△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{|m|}{\sqrt{2}}×\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{3-{m}^{2}}$=$\frac{|m|}{3}\sqrt{3-{m}^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$，
∵0＜m2＜3，
∴S△OAB=$\frac{1}{3}\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}≤\frac{1}{3}[\frac{{m}^{2}+（3-{m}^{2}）}{2}]^{2}=\frac{3}{4}$，
当且仅当m2=3-m2，即m=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$时，△AOB的面积最大值为$\frac{3}{4}$．
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
| A． | [$\frac{4}{3}$，4] | B． | [$\frac{4}{3}$，4） | C． | [2，4] | D． | （2，4] |
| A． | [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$] | B． | [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$] | C． | [-$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$] | D． | [-$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$] |
| A． | （0，1） | B． | （-∞，0） | C． | [1，+∞） | D． | [0，1） |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| A． | {x|0＜x＜2} | B． | {x|0＜x＜1} | C． | {x|0≤x＜1} | D． | {x|-1＜x＜0} |