某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月.预测上市初期和厢期会因供应不足使价格呈持续上涨态势.而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数:①f(x)=p．qx,②f(x)=px2+qx+1,③f2+p(以上三式中p.q均为常数.且q＞l)．(1)为准确研究其价格走势.应选哪种价格模拟函数,=6.求出所选函数f(x)的解析式(注:函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和厢期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=p．q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p（以上三式中p，q均为常数，且q＞l）．
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）；
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=l表示9月1日，…，以此类推）；
（3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x-q）²+p为其模拟函数；
（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式；
（3）确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．

解答： 解：（1）因为f（x）=pq^x是单调函数，f（x）=px²+qx+1，只有两个单调区间，不符合题设中的价格变化规律
在f（x）=x（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=

，即f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律，所以应选f（x）=x（x-q）²+p为价格模拟函数；
（2）由f（0）=4，f（2）=6，得

p=4

2(2-q)2+p=6

q＞1

，∴p=4，q=3
（3）f（x）=x³-6x²+9x+4（0≤x≤5，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9＜0得：1＜x＜3，
由题意可预测该果品在9、10月份内价格下跌．

点评：本题考查函数模型的确定，考查函数解析式，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．