Question

函数f（x）=x³-3x+m恰好有两个零点，则m的值为

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论

解答： 解：：∵f（x）=x³-3x+m，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．
要使函数f（x）=x³-3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，
由极大值f（-1）=-1+3+m=m+2=0，解得m=-2；再由极小值f（1）=1-3+m=m-2=0，解得m=2．
综上实数m的取值范围：m=-2或m=2，
故答案为：-2或2．

点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．