Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

，直线l：y=kx+2交椭圆于不同的A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）O是坐标原点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的半焦距为c，由题知a=

3

，

c

a

=

6

3

，解得c，求出b，即可求椭圆的方程；
（2）直线l：y=kx+2与椭圆联立，表示出△AOB面积，利用韦达定理，结合换元，基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题知a=

3

，

c

a

=

6

3

，解得c=

2

．
∴b=1，
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1---------------（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l：y=kx+2与椭圆联立可得1+3k²）x²+12kx+9=0
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

---------------（6分）
又原点到直线l：y=kx+2的距离d=

2

1+k2

∴△AOB的面积S=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|d=|x₁-x₂|=

36(k2-1) (1+3k2)2

令t=k²（t＞1），则S²=

36(t-1)

9t2+6t+1

=

36

9(t-1)+ 16 t-1 +24

≤

36

24+24

=

3

4

-----------------（8分）
当且仅当t=

7

3

，即k=±

21

3

时，△AOB面积的最大值为

3

2

．--------------（10分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．