Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x-a在[-1，2]上有零点，则实数a的取值范围是-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）在[-1，2]上的最大、最小值，利用函数零点的定义，即可求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x-a，
∴f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，解得x=-3或x=1；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数，
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
∴f（x）在x=1时取得极小值f（1）=-$\frac{5}{3}$-a；
又f（-1）=$\frac{11}{3}$-a，f（2）=$\frac{2}{3}$-a，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值为$\frac{11}{3}$-a，最小值为-$\frac{5}{3}$-a；
又函数f（x）在[-1，2]上有零点，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11}{3}-a≥0}\\{-\frac{5}{3}-a≤0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．
故答案为：-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性与求函数在某一闭区间上的最值问题，也考查了函数零点的应用问题，是综合性题目．