Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+$\frac{π}{2}$与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用cos²φ+sin²φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．
（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），$（\frac{6}{sinα}，α）$．可得$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{3}$．同理可得：$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{3}$，即可得出．

解答 解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．
圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），可得普通方程：x²+（y-1）²=1，
展开为x²+y²-2y=0．化为极坐标方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），$（\frac{6}{sinα}，α）$．
∴|OP|=2sinα，|OM|=$\frac{6}{sinα}$，可得$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{3}$．
同理可得：$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{3}$=$\frac{co{s}^{2}α}{3}$．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}2α}{36}$$≤\frac{1}{36}$．当$α=\frac{π}{4}$时，取等号．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．