Question

12．已知：
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²10°+sin²70°+sin²130°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明．

Answer 1

分析 分析已知条件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²10°+sin²670°+sin²130°=$\frac{3}{2}$．可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答 解：一般性的命题为${sin^2}（α-{60°}）+{sin^2}α+{sin^2}（α+{60°}）=\frac{3}{2}$．
证明：左边=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cps（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．