题目内容
18．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）-f（x1）＜x2-x1恒成立，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．分析 问题转化为函数g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）递减，即m≥x-x2在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．
解答 解：若对任意x2＞x1＞0，f（x2）-f（x1）＜x2-x1恒成立，
即若对任意x2＞x1＞0，f（x2）-x2＜f（x1）-x1恒成立，
即函数g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）递减，
g′（x）=$\frac{{-x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x-x2在（0，+∞）恒成立，
而x-x2=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
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9．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，关于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞） | B． | （-∞，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$） | C． | （0，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$） | D． | {$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$} |