题目内容
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足
=
，则△ABC面积的最大值为 ．
| tanA |
| tanB |
| 2c-b |
| b |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2-a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：
解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，
∵tanA=
，tanB=
，
∴
=
=
=
，
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=
，即A=
，
∴cosA=
=
，
∴bc=b2+c2-a2=b2+c2-（2rsinA）2=b2+c2-3≥2bc-3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S=
bcsinA≤
×3×
=
，
则△ABC面积的最大值为：
．
故答案为：
．
∵tanA=
| sinA |
| cosA |
| sinB |
| cosB |
∴
| tanA |
| tanB |
| sinAcosB |
| cosAsinB |
| 4sinC-2sinB |
| 2sinB |
| 2sinC-sinB |
| sinB |
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∴bc=b2+c2-a2=b2+c2-（2rsinA）2=b2+c2-3≥2bc-3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
则△ABC面积的最大值为：
3
| ||
| 4 |
故答案为：
3
| ||
| 4 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
sin（-
）的值是（ ）
| π |
| 3 |
A、
| ||||
B、-
| ||||
C、
| ||||
D、-
|
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．