Question

求

|4m|

m2+3

•

9-24m2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：设s=

|4m|

m2+3

•

9-24m2

，则s²=

16m2(9-24m2)

(m2+3)2

，令m²=t≥0，可得f（t）=

16t(9-24t)

(t+3)2

=48×

(3t-8t2)

t2+6t+9

，利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：设s=

|4m|

m2+3

•

9-24m2

，
则s²=

16m2(9-24m2)

(m2+3)2

，
令m²=t≥0，
则f（t）=

16t(9-24t)

(t+3)2

=48×

(3t-8t2)

t2+6t+9

，
f′（t）=

-48(51t-9)(t+3)

(t+3)4

，
令f′（t）＞0，解得0＜t＜

9

51

，此时函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，解得t＞

9

51

，此时函数f（t）单调递减．
∴当t=

9

51

，即m2=

9

51

时，函数f（t）取得最大值，为

48×(3× 9 51 -8× 81 512 )

81 512 +6× 9 51 +9

=

27

14

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．