Question

已知△ABC为等腰三角形，PA⊥平面ABC，AB=AC=5，PA=BC=5

3

，求：
（1）点P到直线BC的距离；
（2）二面角B-PA-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC中点D，连结AD，PD，由等腰三角形性质得AD⊥BC，由勾股定理得AD=

5

2

，由三垂线定理，得PD⊥BC，由此利用勾股定理能求出P到直线BC的距离．
（2）由线面垂直得AB⊥PA，AC⊥PA，从而∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角B-PA-C的大小．

解答： 解：（1）取BC中点D，连结AD，PD，
∵△ABC为等腰三角形，PA⊥平面ABC，AB=AC=5，PA=BC=5

3

，
∴AD⊥BC，且AD=

AB2-BD2

=

25- 75 4

=

5

2

，
由三垂线定理，得PD⊥BC，
∴线段PD长为P到直线BC的距离，
∴P到直线BC的距离PD=

PA2+AD2

=

75+ 25 4

=

5 13

2

．
（2）∵PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，
∵AB=AC=5，BC=5

3

，
∴cos∠BAC=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

25+25-75

2×5×5

=-

1

2

，
∴∠BAC=120°，
∴二面角B-PA-C的大小为120°．

点评：本题考查点到直线的距离的求法，考查二面角的大小的求法，涉及到勾股定理、三垂线定理、余弦定理的应用，要注意线面垂直的性质的合理运用，是中档题．