Question

是否存在实数β使复数cosβ+isinβ对应点在直线2x+2y-3=0上？若存在，求出β；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义

专题：三角函数的求值,数系的扩充和复数

分析：根据复数的几何意义以及点和直线的位置关系进行判断即可．

解答： 解：复数对应的点的坐标为（cosβ，sinβ），
若点在直线上，则2cosβ+2sinβ-3=0，
即cosβ+sinβ=

3

2

，
∵cosβ+sinβ=

2

sin（β+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
而

3

2

＞

2

，
∴方程cosβ+sinβ=

3

2

无解，
即不存在实数β使复数cosβ+isinβ对应点在直线2x+2y-3=0上．

点评：本题主要考查复数的几何意义，以及三角函数的性质，利用辅助角公式将三角方程化简是解决本题的关键．